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Nuevos cursos de Matemáticas del PD: elección del curso más adecuado

Tras el ciclo de siete años de revisión del currículo, habrá dos nuevos cursos de Matemáticas en 2019, que sustituirán a los cuatro actuales. Además de ofrecer más opciones a un número mayor de alumnos, los cursos darán una mayor flexibilidad a su colegio en lo que respecta a la agrupación de los alumnos, la programación de las lecciones y la enseñanza de los contenidos y habilidades.

Rear view of a businessman standing with his hands behind his head and looking at formulas on a blackboard.

Los dos nuevos cursos se incorporarán al Programa del Diploma (PD) en 2019, y estarán disponibles tanto en el Nivel Superior (NS) como en el Nivel Medio (NM). El primero es Matemáticas: Análisis y Enfoques y el segundo Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación. Cada curso dedica distintas horas lectivas a los temas. Esta guía proporciona orientación que le ayudará a decidir qué curso es más adecuado para su colegio y sus alumnos.

Los cursos se diferencian por la forma en que abordan las matemáticas, que se describe de manera general en la tabla siguiente:

Matemáticas: Análisis y Enfoques

  • Énfasis en métodos algebraicos
  • Desarrollo de sólidas habilidades de pensamiento matemático
  • Resolución de problemas matemáticos reales y abstractos
  • Para alumnos interesados en matemáticas, ingeniería, ciencias físicas y algunos aspectos de economía

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

  • Énfasis en modelización y estadística
  • Desarrollo de sólidas habilidades de aplicación de las matemáticas a la vida real
  • Resolución de problemas matemáticos reales utilizando medios tecnológicos
  • Para alumnos interesados en ciencias sociales, ciencias naturales, medicina, estadística, negocios, ingeniería, algunos aspectos de economía, psicología y diseño

Desglose de los cursos

Ambos cursos, tanto en el NM como en el NS, cubren los mismos cinco temas de matemáticas, pero con diferencias de énfasis en cada área: aritmética y álgebra; funciones; geometría y trigonometría; estadística y probabilidad, y análisis. La tabla siguiente puede ayudarle a elegir el curso adecuado en función del tiempo que se dedica a cada tema.

En ella se detallan los contenidos que se cubren dentro de cada tema en los distintos cursos. Utilícela para comparar ambos cursos, tanto en el NM como en el NS.

Nivel Medio (NM)

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación NM

  • Operaciones con números expresados de la forma a × 10k, donde 1 ≤ a < 10 y k es un número entero.
  • Progresiones y series aritméticas.
  • Uso de las fórmulas que permiten calcular el término n-ésimo y la suma de los n primeros términos de la progresión.
  • Uso de la notación de sumatoria para referirse a las sumas de progresiones aritméticas, aplicaciones.
  • Análisis, interpretación y predicción en aquellas situaciones en las que un modelo no tenga un equivalente perfectamente aritmético en la vida real.
  • Progresiones y series geométricas.
  • Uso de las fórmulas que permiten calcular el término n-ésimo y la suma de los n primeros términos de la progresión.
  • Uso de la notación de sumatoria para referirse a las sumas de progresiones geométricas, aplicaciones.
  • Aplicaciones de las progresiones y series geométricas al ámbito financiero: interés compuesto, depreciación anual.
  • Propiedades de las potencias que tienen exponentes enteros.
  • Introducción a los logaritmos en base 10 y en base e.
  • Evaluación numérica de logaritmos empleando medios tecnológicos.
  • Aproximación: cifras decimales, cifras significativas.
  • Límite superior e inferior de un número al que se le ha aplicado un redondeo.
  • Porcentajes de error.
  • Estimación.
  • Amortización y anualidades utilizando medios tecnológicos.
  • Uso de medios tecnológicos para resolver: sistemas de ecuaciones lineales con hasta tres incógnitas, ecuaciones polinómicas.

Matemáticas: Análisis y Enfoques NM

  • Operaciones con números en forma a × 10k, donde 1 ≤ a < 10 y k son números enteros.
  • Progresiones y series aritméticas.
  • Uso de las fórmulas que permiten calcular el término n-ésimo y la suma de los n primeros términos de la progresión.
  • Uso de la notación de sumatoria para referirse a las sumas de progresiones aritméticas.
  • Progresiones y series geométricas.
  • Uso de la notación de sumatoria para referirse a las sumas de progresiones geométricas.
  • Aplicaciones de las progresiones y series geométricas al ámbito financiero: interés compuesto, depreciación anual.
  • Propiedades de las potencias que tienen exponentes enteros.
  • Introducción a los logaritmos en base 10 y en base e.
  • Evaluación numérica de logaritmos empleando medios tecnológicos.
  • Demostración sencilla mediante deducción, y por métodos numéricos y algebraicos; cómo plantear una demostración “de izquierda a derecha”.
  • Los símbolos y la notación para representar una igualdad y una identidad.
  • Propiedades de las potencias que tienen exponentes racionales.
  • Propiedades de los logaritmos.
  • Cambio de base en un logaritmo.
  • Resolución de ecuaciones exponenciales, incluido el uso de logaritmos.
  • La suma de progresiones geométricas convergentes infinitas.
  • El teorema del binomio.
  • Uso del triángulo de Pascal y de nCr.

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación NM

  • Diferentes formas de expresar la ecuación de una recta.
  • Pendiente, intersecciones.
  • Rectas de pendiente m1m2. Rectas paralelas m1m2. Rectas perpendiculares m1 × m2 = − 1.
  • Concepto de función, dominio, recorrido y gráfico.
  • Notación de funciones, por ejemplo: f(x), v(t), C(n).
  • Concepto de función como modelo matemático.
  • El concepto informal de que la función inversa revierte o deshace el efecto de la función.
  • Función inversa como simetría respecto a la recta y = x y la notación f−1(x).
  • El gráfico de una función; su ecuación y = f(x).
  • Crear un bosquejo (dibujo aproximado) a partir de la información dada o de un contexto; esto incluye el transferir un gráfico de la pantalla al papel.
  • Uso de medios tecnológicos para representar gráficamente funciones, incluida la suma y la diferencia de funciones.
  • Determinar las características más importantes de un gráfico.
  • Hallar el punto de intersección de dos curvas o rectas utilizando medios tecnológicos.
  • Modelización con las siguientes funciones:
  • Modelos lineales: f(x) = mx + c.
  • Modelos cuadráticos: f (x) = ax2 + bx + c; a ≠ 0. Ejes de simetría, vértice, ceros y raíces, puntos de corte con el eje x y con el eje y.
  • Modelos de crecimiento y decrecimiento exponencial.
  • Ecuación de las asíntotas horizontales.
  • Variación directa o inversa.
  • Modelos cúbicos.
  • Modelos sinusoidales.
  • Habilidades de modelización: uso del proceso de modelización que aparece descrito en el apartado sobre modelización matemática de la guía para crear, ajustar y utilizar los modelos teóricos de la sección NM 2.5 y sus correspondientes gráficos.
  • El eje y como asíntota vertical cuando n < 0.
  • Desarrollo y ajuste del modelo: dado un contexto, reconocer y escoger un modelo y posibles parámetros que resulten apropiados.
  • Determinar, para un modelo dado, un dominio que sea razonable.
  • Hallar los parámetros de un modelo.
  • Realizar pruebas y reflexionar sobre el modelo: hacer comentarios sobre lo apropiado y lo razonable que resulta un modelo dado; justificar la elección de un modelo concreto basándose en la forma de los datos, en las propiedades de la curva o en el contexto en el que se plantea la situación.
  • Uso del modelo: leer datos e interpretar y hacer predicciones basándose en el modelo.

Matemáticas: Análisis y Enfoques NM

  • Diferentes formas de expresar la ecuación de una recta.
  • Pendiente, intersecciones.
  • Rectas de pendiente m1m2.
  • Rectas paralelas m1m2.
  • Rectas perpendiculares m1 × m2 = − 1.
  • Concepto de función, dominio, recorrido y gráfico.
  • Notación de funciones.
  • Concepto de función como modelo matemático.
  • El concepto informal de que la función inversa revierte o deshace el efecto de la función.
  • Función inversa como simetría respecto a la recta y = x y la notación f−1(x).
  • El gráfico de una función; su ecuación y = f(x).
  • Crear un bosquejo (dibujo aproximado) a partir de la información dada o de un contexto; esto incluye el transferir un gráfico de la pantalla al papel.
  • Uso de medios tecnológicos para representar gráficamente funciones, incluida la suma y la diferencia de funciones.
  • Determinar las características más importantes de un gráfico.
  • Hallar el punto de intersección de dos curvas o rectas utilizando medios tecnológicos.
  • Funciones compuestas.
  • Función identidad.
  • Hallar la función inversa f−1(x).
  • La función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c: su gráfico, intersección con el eje y (0, c). Eje de simetría.
  • La forma f(x) = a(x p)(x q), intersecciones con el eje x (p, 0) y (q, 0).
  • La forma f(x) = a (x − h)2 + k, vértice (h, k).
  • Resolución de ecuaciones e inecuaciones cuadráticas.
  • La fórmula cuadrática.
  • El discriminante Δ = b2 − 4ac y la naturaleza de las raíces, es decir, dos raíces reales distintas, dos raíces reales iguales o ninguna raíz real.
  • La función recíproca f(x) = 1/x, x ≠ 0: su gráfico y la propiedad de coincidir con su inversa.
  • Funciones racionales que son de la forma f(x) = (ax + b) / (cx + d) y sus gráficos correspondientes.
  • Ecuación de las asíntotas verticales y horizontales.
  • Funciones exponenciales y sus gráficos.
  • Funciones logarítmicas y sus gráficos.
  • Resolución de ecuaciones, tanto gráficamente como con métodos analíticos.
  • Uso de medios tecnológicos para la resolución de diversos tipos de ecuaciones, incluidos aquellos para los que no existe ningún enfoque analítico apropiado.
  • Aplicación de las habilidades de representación gráfica y resolución de ecuaciones que ilustran situaciones de la vida real.
  • Transformaciones de gráficos, traslaciones, simetrías respecto a ambos ejes, estiramiento vertical de razón, estiramiento horizontal de razón.
  • Transformaciones compuestas.

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación NM

  • La distancia que hay entre dos puntos del espacio tridimensional y el punto medio entre ambos.
  • Volumen y área de la superficie de sólidos tridimensionales, incluida la pirámide recta, el cono recto, la esfera, la semiesfera y las combinaciones de estos sólidos.
  • Tamaño del ángulo que forman dos rectas que se cortan o del ángulo que forma una recta con un plano.
  • Uso de las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) para hallar los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo.
  • El teorema del seno: a / senA = b / senB = c / senC.
  • El teorema del coseno: c2 = a2 + b2 – 2abcosC.
  • cosC = (a2 + b2c2) / 2ab.
  • Área de un triángulo mediante la fórmula 1/2absenC.
  • Aplicaciones de la trigonometría de triángulos rectángulos y no rectángulos, incluido el teorema de Pitágoras.
  • Ángulo de elevación y ángulo de depresión.
  • Elaboración de diagramas rotulados partiendo de enunciados escritos.
  • El círculo: longitud de un arco de circunferencia; área de un sector circular.
  • Ecuaciones de mediatrices.
  • Diagramas de Voronoi: sitios, vértices, aristas, celdas.
  • Adición de un sitio a un diagrama de Voronoi ya existente.
  • Interpolación del vecino más próximo.
  • Aplicaciones del problema del “vertido de residuos tóxicos”

Matemáticas: Análisis y Enfoques NM

  • La distancia que hay entre dos puntos del espacio tridimensional y el punto medio entre ambos.
  • Volumen y área de la superficie de sólidos tridimensionales, incluida la pirámide recta, el cono recto, la esfera, la semiesfera y las combinaciones de estos sólidos.
  • Tamaño del ángulo que forman dos rectas que se cortan o del ángulo que forma una recta con un plano.
  • Uso de las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) para hallar los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo.
  • El teorema del seno.
  • El teorema del coseno.
  • Área de un triángulo.
  • Aplicaciones de la trigonometría de triángulos rectángulos y no rectángulos, incluido el teorema de Pitágoras.
  • Ángulo de elevación y ángulo de depresión.
  • Elaboración de diagramas rotulados partiendo de enunciados escritos.
  • El círculo: medida de ángulos en radianes; longitud de un arco; área de un sector.
  • Definición de cosθ, senθ utilizando como referencia el círculo de radio unidad.
  • Definición de tanθ como senθ / cosθ.
  • Valor exacto de las razones trigonométricas: 0, π/6, π/4, π/3, π/2 y sus múltiplos.
  • Ampliación del teorema del seno al caso ambiguo.
  • La relación fundamental cos2θ + sen2θ = 1.
  • Las fórmulas del seno y el coseno del ángulo doble.
  • La relación que existe entre las diversas razones trigonométricas.
  • Las funciones trigonométricas senx, cosx, y tanx; amplitud, su carácter periódico, y sus gráficos correspondientes.
  • Funciones compuestas que son de la forma f(x) = asen(b(x + c)) + d.
  • Transformaciones.
  • Contextos de la vida real.
  • Resolución de ecuaciones trigonométricas dentro de un intervalo finito, tanto gráficamente como mediante métodos analíticos.
  • Ecuaciones que conducen a una ecuación cuadrática en senx, cosx o bien tanx.

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación NM

  • Concepto de población, muestra, muestra aleatoria, datos discretos y continuos.
  • Fiabilidad de las fuentes de datos y sesgo en el muestreo.
  • Interpretación de los valores atípicos.
  • Técnicas de muestreo y su eficacia.
  • Presentación de datos (discretos y continuos): distribuciones de frecuencia (tablas).
  • Histogramas.
  • Frecuencia acumulada; gráficos de frecuencia acumulada; su uso para hallar la mediana, los cuartiles, los percentiles, el rango y el rango intercuartil (RIC).
  • Elaboración y comprensión de los diagramas de caja y bigote.
  • Medidas de posición central (media, mediana y moda).
  • Estimación de la media a partir de datos agrupados.
  • Clase modal.
  • Medidas de dispersión (rango intercuartil, desviación típica y varianza).
  • Efecto que tienen los cambios constantes sobre los datos originales.
  • Cuartiles de datos discretos.
  • Correlación lineal de variables bidimensionales.
  • Coeficiente de correlación momento-producto de Pearson, r.
  • Diagrama de dispersión; recta de ajuste óptimo (dibujada a ojo) que pasa por el punto correspondiente a la media.
  • Ecuación de la recta de regresión de y sobre x.
  • Uso de la ecuación de la recta de regresión para hacer predicciones.
  • Interpretar el significado de los parámetros a y b en una regresión lineal y = ax + b.
  • Concepto de ensayo, resultado, resultados equiprobables, frecuencia relativa, espacio muestral (U) y suceso.
  • La probabilidad de un suceso A es P(A) = n(A) / n(U).
  • Los sucesos complementarios A y A’ (no A).
  • Número esperado de ocurrencias.
  • Uso de diagramas de Venn, diagramas de árbol, diagramas de espacio muestral y tablas de resultados para el cálculo de probabilidades.
  • Sucesos compuestos y sucesos incompatibles.
  • Probabilidad condicionada.
  • Sucesos independientes.
  • Concepto de variable aleatoria discreta y su correspondiente distribución de probabilidad.
  • Esperanza matemática (media) E(X) para datos discretos.
  • Distribución binomial.
  • Media y varianza de la distribución binomial.
  • La distribución normal y su curva correspondiente.
  • Propiedades de la distribución normal.
  • Representación mediante diagramas.
  • Cálculo de probabilidades asociadas a la distribución normal.
  • Proceso inverso del cálculo de probabilidades asociadas a una distribución normal.
  • Coeficiente de correlación por rangos de Spearman, rs.
  • Consideración sobre la pertinencia y limitaciones del coeficiente de correlación momento-producto de Pearson y del coeficiente de correlación por rangos de Spearman, y de cómo estos se ven afectados por valores atípicos.
  • Formulación de la hipótesis nula y de la hipótesis alternativa: H0 y H1.
  • Niveles de significación.
  • Valor del parámetro p.
  • Frecuencias esperadas y frecuencias observadas.
  • La prueba χ2 para determinar si hay independencia: tablas de contingencia, grados de libertad, valor crítico.
  • χ2 para determinar la bondad del ajuste.
  • La prueba t de Student.
  • Uso del valor del parámetro p para comparar las medias de dos poblaciones.
  • Empleo de contrastes de una y de dos colas.

Matemáticas: Análisis y Enfoques NM

  • Concepto de población, muestra, muestra aleatoria, datos discretos y continuos.
  • Fiabilidad de las fuentes de datos y sesgo en el muestreo.
  • Interpretación de los valores atípicos.
  • Técnicas de muestreo y su eficacia.
  • Presentación de datos (discretos y continuos): distribuciones de frecuencia (tablas).
  • Histogramas.
  • Frecuencia acumulada; gráficos de frecuencia acumulada; su uso para hallar la mediana, los cuartiles, los percentiles, el rango y el rango intercuartil (RIC).
  • Elaboración y comprensión de los diagramas de caja y bigote.
  • Medidas de posición central (media, mediana y moda).
  • Estimación de la media a partir de datos agrupados.
  • Clase modal.
  • Medidas de dispersión (rango intercuartil, desviación típica y varianza).
  • Efecto que tienen los cambios constantes sobre los datos originales.
  • Cuartiles de datos discretos.
  • Correlación lineal de variables bidimensionales.
  • Coeficiente de correlación momento-producto de Pearson r.
  • Diagrama de dispersión; recta de ajuste óptimo (dibujada a ojo) que pasa por el punto correspondiente a la media.
  • Ecuación de la recta de regresión de y sobre x.
  • Uso de la ecuación de la recta de regresión para hacer predicciones.
  • Interpretar el significado de los parámetros a y b en una regresión lineal y = ax + b.
  • Concepto de ensayo, resultado, resultados equiprobables, frecuencia relativa, espacio muestral (U) y suceso.
  • La probabilidad de un suceso A es P(A) = n(A) / n(U).
  • Los sucesos complementarios A y A’ (no A).
  • Número esperado de ocurrencias.
  • Uso de diagramas de Venn, diagramas de árbol, diagramas de espacio muestral y tablas de resultados para el cálculo de probabilidades.
  • Sucesos compuestos y sucesos incompatibles.
  • Probabilidad condicionada.
  • Sucesos independientes.
  • Concepto de variable aleatoria discreta y su correspondiente distribución de probabilidad.
  • Esperanza matemática (media) para datos discretos.
  • Aplicaciones.
  • Distribución binomial.
  • Media y varianza de la distribución binomial.
  • La distribución normal y su curva correspondiente.
  • Propiedades de la distribución normal.
  • Representación mediante diagramas.
  • Cálculo de probabilidades asociadas a la distribución normal.
  • Proceso inverso del cálculo de probabilidades asociadas a una distribución normal.
  • Ecuación de la recta de regresión de x sobre y.
  • Uso de esta ecuación para hacer predicciones.
  • Tipificación de la variable en una distribución normal (valores z).
  • Proceso inverso de cálculos de probabilidades asociadas a una distribución normal cuando se desconoce el valor de la media y el de la desviación típica.

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación NM

  • Introducción al concepto de límite.
  • La derivada interpretada como función pendiente y como razón de cambio.
  • Funciones crecientes y decrecientes.
  • Interpretación gráfica de f ′(x) > 0, f ′(x) = 0, f ′(x) < 0.
  • La derivada de f(x) = axn es f′ (x) = anxn−1, n ∈ ℤ.
  • La derivada de funciones que son de la forma f(x) = axn + bxn−1 + –, donde todos los exponentes son números enteros.
  • Recta tangente y recta normal a la curva en un punto dado; ecuación de dichas rectas.
  • Introducción a la integración como primitiva de funciones que son de la forma f(x) = axn + bxn −1 + …, donde n ∈ ℤ, n ≠ − 1.
  • Integración con una restricción para determinar el término constante.
  • Integrales definidas utilizando medios tecnológicos.
  • Áreas de una región delimitada por una curva f(x) y el eje x, donde f(x) > 0.
  • Valores de x para los cuales la pendiente de la curva es igual a cero.
  • Solución de f ′(x) = 0.
  • Puntos máximos y mínimos locales.
  • Problemas de optimización en un contexto dado.
  • Cálculo aproximado de áreas utilizando la regla del trapecio.

Matemáticas: Análisis y Enfoques NM

  • Introducción al concepto de límite.
  • La derivada interpretada como función pendiente y como razón de cambio.
  • Funciones crecientes y decrecientes.
  • Interpretación gráfica de f′(x) > 0, f′(x) = 0, f′(x) < 0.
  • La derivada de f(x) = axn es f′(x) = anxn−1, n ∈ ℤ.
  • La derivada de funciones que son de la forma f(x) = axn + bxn−1. . . donde todos los exponentes son números enteros.
  • Recta tangente y recta normal a la curva en un punto dado; ecuación de dichas rectas.
  • Introducción a la integración como primitiva de funciones que son de la forma f(x) = axn + bxn −1 + …, donde n ∈ ℤ, n ≠ − 1.
  • Integración con una restricción para determinar el término constante.
  • Integrales definidas utilizando medios tecnológicos.
  • Área de una región delimitada por una curva f(x) y el eje x, donde f(x) > 0.
  • Derivada de xn (n ∈ ℚ), senx, cosx, ex y lnx.
  • Derivada de una suma y de un múltiplo de estas funciones.
  • La regla de la cadena para funciones compuestas.
  • La regla del producto y la regla del cociente.
  • La derivada segunda.
  • Comportamiento gráfico de funciones, incluida la relación que existe entre los gráficos de f, f’ y f ″.
  • Puntos máximos y mínimos locales.
  • Comprobación para saber si se trata de un máximo o un mínimo.
  • Optimización.
  • Puntos de inflexión con pendiente cero y con pendiente distinta de cero.
  • Problemas de cinemática donde interviene el desplazamiento s, velocidad v, aceleración a y la distancia total recorrida.
  • Integral indefinida de xn (n ∈ ℚ), senx, cosx, 1/x y ex.
  • La composición de alguna de estas funciones con la función lineal axb.
  • Integración por comparación (regla de la cadena inversa) o por sustitución para expresiones que sean de la forma: ∫ kg′(x)f(g(x))dx.
  • Integrales definidas, incluido un enfoque analítico a este tema.
  • Áreas de una región delimitada por una curva y = f(x) y el eje x, donde f(x) puede tener valores positivos o negativos, sin recurrir al uso de medios tecnológicos.
  • Área entre curvas.

Nivel Superior (NS)

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación NS

  • Propiedades de los logaritmos.
  • Cómo simplificar expresiones —tanto numéricamente como con métodos algebraicos— donde aparecen exponentes racionales.
  • La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica.
  • Números complejos: el número i, tal que i2 = – 1.
  • Forma cartesiana: z = a + bi; los términos parte real, parte imaginaria, conjugado, módulo y argumento.
  • Calcular sumas, restas, productos y divisiones, tanto a mano como con medios tecnológicos.
  • Calcular la potencia de números complejos expresados en forma cartesiana utilizando medios tecnológicos.
  • El plano complejo.
  • Los números complejos como soluciones de una ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, con coeficientes reales, donde b2 – 4ac < 0.
  • La forma módulo-argumental (polar): z = r (cosθ + i senθ) = rcisθ.
  • Forma exponencial: z = reiθ.
  • Conversión entre las formas cartesiana, polar y exponencial, tanto a mano como mediante medios tecnológicos.
  • Cálculo de productos, cocientes y potencias de exponente entero de números que están en forma polar o en forma exponencial.
  • Suma de funciones sinusoidales que tienen la misma frecuencia, pero distinta diferencia de fase.
  • Interpretación geométrica de números complejos.
  • Definición de matriz: los conceptos “elemento”, “fila”, “columna” y “orden” de una matriz m × n.
  • Álgebra matricial: igualdad, suma, resta y multiplicación por un escalar para matrices m × n.
  • Multiplicación de matrices.
  • Propiedades de la multiplicación de matrices: asociativa, distributiva y no conmutativa.
  • Matriz identidad y matriz nula.
  • Determinante y matriz inversa de una matriz n × n utilizando medios tecnológicos, y también a mano para matrices 2 × 2.
  • Los alumnos han de saber que un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir de la siguiente forma: Ax = b.
  • Resolución de sistemas de ecuaciones utilizando la matriz inversa.
  • Valores propios y vectores propios.
  • Polinomio característico de matrices 2 × 2.
  • Diagonalización de matrices 2 × 2 (restringiéndonos al caso en el que hay valores propios reales y distintos).
  • Aplicación de las potencias a matrices 2 × 2.

Matemáticas: Análisis y Enfoques NS

  • Reglas de conteo, incluidas las permutaciones y las combinaciones.Ampliación del teorema del binomio a casos con índices fraccionarios y negativos.Fracciones parciales.Números complejos: el número i, donde i2 = − 1.Forma cartesiana z = a + bi; los términos parte real, parte imaginaria, conjugado, módulo y argumento.

    El plano complejo.

    La forma módulo-argumental (polar).

    La forma de Euler.

    Sumas, productos y cocientes en forma cartesiana, polar o de Euler, y su interpretación geométrica.

    Raíces complejas conjugadas de ecuaciones cuadráticas y polinómicas que tienen coeficientes reales.

    Teorema de De Moivre y su ampliación al caso de exponentes racionales.

    Potencias y raíces de números complejos.

    Demostración por inducción matemática.

    Demostración por contradicción.

    Uso de un contraejemplo para mostrar que una afirmación dada no siempre es cierta.

    Resolución de sistemas de ecuaciones lineales (hasta un máximo de tres ecuaciones con tres incógnitas), incluidos los casos en los que hay una única solución o un número infinito de soluciones, y aquellos para los que no existe ninguna solución.

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación NS

  • Funciones compuestas en un contexto dado.
  • La notación (fg)(x) = f(g(x)).
  • Función inversa f–1, incluida la restricción del dominio.
  • Hallar la función inversa.
  • Transformaciones de gráficos.
  • Traslaciones: y = f(x) + b; y = f(x – a).
  • Simetrías respecto al eje x y = –f(x) y respecto al eje y y = f(–x).
  • Estiramiento vertical de razón p: y = p f(x).
  • Estiramiento horizontal de razón 1 / q: y = f(qx).
  • Transformaciones compuestas.
  • Modelos exponenciales para calcular el valor de la semivida.
  • Modelos basados en logaritmos neperianos.
  • Modelos sinusoidales.
  • Modelos logísticos.
  • Modelos definidos por tramos.
  • Escalado de números muy grandes o muy pequeños utilizando logaritmos.
  • Linealización de datos mediante logaritmos para determinar si existe una relación exponencial o potencial entre dichos datos, utilizando para ello la recta de ajuste óptimo para determinar los parámetros.
  • Interpretación de los gráficos logarítmicos y semilogarítmicos.

Matemáticas: Análisis y Enfoques NS

  • Funciones polinómicas y sus gráficos y ecuaciones correspondientes; ceros, raíces y factores.
  • El teorema del factor y el teorema del resto.
  • Suma y producto de las raíces de una ecuación polinómica.
  • Funciones racionales que son de la forma f(x) = ax + b / cx2 + dx + e, y f(x) = ax2 + bx + c / dx + e.
  • Funciones pares e impares.
  • Hallar la función inversa f−1(x), incluida la restricción del dominio.
  • Funciones que coinciden con su inversa.
  • Soluciones de g(x) ≥ f(x), tanto gráficamente como mediante métodos analíticos.
  • Los gráficos de las funciones y = |f(x)| y y = f(|x|), y = 1 / f(x), y = f (ax + b), y = [f(x)]2.
  • Resolución de ecuaciones e inecuaciones con módulos.

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación NS

  • Definición de radián y conversión entre grados y radianes.
  • Uso de radianes para calcular el área de un sector circular y la longitud de un arco de circunferencia.
  • Las definiciones de cosθ and senθ utilizando como referencia el círculo de radio unidad.
  • La relación fundamental: cos2θ + sen2θ = 1.
  • Definición de tanθ como senθ / cosθ.
  • Ampliación del teorema del seno al caso ambiguo.
  • Método gráfico para la resolución de ecuaciones trigonométricas dentro de un intervalo finito.
  • Transformaciones geométricas de puntos en dos dimensiones utilizando matrices: simetría, estiramiento horizontal y vertical, homotecia, traslación y rotación.
  • Composición de las transformaciones anteriores.
  • Interpretación geométrica del determinante de una matriz de transformación.
  • Concepto de vector y de escalar.
  • Representación de vectores utilizando segmentos de recta orientados.
  • Vectores unitarios; vectores de la base i, j, k.
  • Componentes de un vector; representación por columnas: v = (v1 v2 v3) = v1i + v2j + v3k.
  • El vector nulo 0, el vector –v.
  • Vectores de posición OA→ = a.
  • Redimensión y normalización de vectores.
  • Ecuación vectorial de una recta en dos y en tres dimensiones: r = a + λb, donde b es un vector director de la recta.
  • Aplicación de los vectores a problemas de cinemática.
  • Modelización del movimiento en línea recta y con velocidad constante en dos y en tres dimensiones.
  • Movimiento en dos dimensiones con velocidad variable.
  • Definición y cálculo del producto escalar de dos vectores.
  • Ángulo que forman dos vectores; ángulo agudo que forman dos rectas.
  • Definición y cálculo del producto vectorial de dos vectores.
  • Interpretación geométrica de | v × w |.
  • Componentes de un vector.
  • Teoría de grafos: grafos, vértices, aristas, vértices adyacentes, aristas adyacentes.
  • Grado de un vértice.
  • Grafos simples; grafos completos; grafos ponderados.
  • Grafos orientados; concepto de semigrado interior y semigrado exterior en un grafo orientado.
  • Subgrafos; árboles.
  • Matrices de adyacencia.
  • Recorridos.
  • Número de recorridos de longitud k (o de recorridos de longitud inferior a k) que hay entre dos vértices.
  • Tablas de adyacencia ponderadas.
  • Elaboración de la matriz de transición para un grafo fuertemente conexo (orientado o no orientado).
  • Algoritmos para árboles y ciclos en grafos no orientados.
  • Recorridos, senderos, caminos, circuitos, ciclos.
  • Senderos y circuitos eulerianos.
  • Caminos y ciclos hamiltonianos.
  • Algoritmos para hallar el árbol generador minimal (AGM) en un grafo: algoritmo de Kruskal y algoritmo de Prim para hallar un árbol generador minimal.

Matemáticas: Análisis y Enfoques NS

  • Definición de las razones trigonométricas recíprocas secθ, cosecθ y cotθ.
  • Relaciones trigonométricas fundamentales: 1 + tan2θ = sec2θ, 1 + cot2θ = cosec2θ.
  • Las funciones inversas f(x) = arcsenx, f(x) = arccosx, f(x) = arctanx; su dominio y su recorrido; su gráfico.
  • Fórmulas de la suma y la diferencia de dos ángulos.
  • Fórmula del ángulo doble para la tangente.
  • Relaciones que existen entre las distintas funciones trigonométricas y propiedades de simetría de sus gráficos.
  • Concepto de vector; vectores de posición; vectores de desplazamiento.
  • Representación de vectores utilizando segmentos de recta orientados.
  • Los vectores de la base i, j, k.
  • Componentes de un vector.
  • Enfoques algebraicos y geométricos a los siguientes conceptos: suma y resta de dos vectores, el vector nulo 0, el vector −v, multiplicación por un escalar kv, vectores paralelos, módulo de un vector, vectores de posición, vector de desplazamiento.
  • Demostración de propiedades geométricas utilizando vectores.
  • Definición de producto escalar de dos vectores.
  • El ángulo que forman dos vectores.
  • Vectores perpendiculares; vectores paralelos.
  • Ecuación vectorial de una recta en dos y en tres dimensiones: r = a + λb.
  • El ángulo que forman dos rectas.
  • Aplicación a problemas sencillos de cinemática.
  • Rectas coincidentes, rectas paralelas, rectas que se cortan y rectas alabeadas; cómo distinguir un caso de otro.
  • Puntos de intersección.
  • La definición del producto vectorial de dos vectores.
  • Propiedades del producto vectorial.
  • Interpretación geométrica de | v × w |.
  • Ecuaciones vectoriales de un plano: r = a + λb + μc, donde b y c son vectores no paralelos contenidos en el plano; r · n = a · n, donde n es un vector normal al plano y a es el vector de posición de un punto perteneciente al plano.
  • Ecuación cartesiana de un plano ax + by + cz = d.
  • Intersección de: una recta y un plano, dos planos, tres planos.
  • Ángulo que forman: una recta y un plano; dos planos.

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación NS

  • Diseño de métodos válidos de obtención de datos, tales como encuestas y cuestionarios.
  • Selección de las variables pertinentes de entre un conjunto de posibles variables.
  • Decidir qué datos resulta relevante y pertinente analizar.
  • Clasificar datos numéricos en una tabla de χ2 y justificar por qué se ha elegido dicho método de clasificación.
  • Elegir un número adecuado de grados de libertad cuando se estén estimando parámetros a partir de datos en el contexto de una prueba χ2 para determinar la bondad del ajuste.
  • Definición de fiabilidad y de validez.
  • Pruebas de fiabilidad.
  • Pruebas de validez.
  • Regresión no lineal.
  • Evaluación de curvas de regresión de mínimos cuadrados empleando medios tecnológicos.
  • Suma de los cuadrados de los residuos (SSres) como medida del ajuste que se logra con un modelo dado.
  • Coeficiente de determinación (R2).
  • Evaluación de R2 usando medios tecnológicos.
  • Transformación lineal de una variable aleatoria unidimensional.
  • Valor esperado de una combinación lineal de n variables aleatorias.
  • Varianza de una combinación lineal de n variables aleatorias independientes.
  • Una combinación lineal de n variables aleatorias normales e independientes sigue una distribución normal.
  • Teorema central del límite.
  • Intervalos de confianza para la media de una población normal.
  • Distribución de Poisson, su media y su varianza.
  • La suma de dos distribuciones de Poisson independientes da lugar a una distribución de Poisson.
  • Valores críticos y regiones críticas.
  • Contrastes referidos a la media de la población para una distribución normal.
  • Contraste para evaluar proporciones utilizando la distribución binomial.
  • Contraste para evaluar la media de la población utilizando la distribución de Poisson.
  • Uso de medios tecnológicos para contrastar la hipótesis de que el coeficiente de correlación momento-producto para toda la población (ρ) es igual a 0 para distribuciones normales bidimensionales.
  • Errores de tipo I y de tipo II, incluido el cálculo de las probabilidades correspondientes.
  • Matrices de transición.
  • Potencia de una matriz de transición.
  • Cadenas de Markov regulares.
  • Matriz de probabilidades partiendo de un estado inicial dado.
  • Cálculo del estado estacionario y de probabilidades a largo plazo mediante la multiplicación reiterada de la matriz de transición o resolviendo un sistema de ecuaciones lineales.

Matemáticas: Análisis y Enfoques NS

  • Uso del teorema de Bayes para un máximo de tres sucesos.
  • Varianza de una variable aleatoria discreta.
  • Variables aleatorias continuas y sus correspondientes funciones de densidad de probabilidad.
  • La moda y la mediana de una variable aleatoria continua.
  • La media, la varianza y la desviación típica de variables aleatorias tanto discretas como continuas.
  • El efecto de las transformaciones lineales de X.

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación NS

  • Las derivadas de sen x, cos x, tan x, ex, ln x, xn, donde n ∈ ℚ.
  • La regla de la cadena, la regla del producto y la regla del cociente.
  • Razones de cambio relacionadas.
  • La derivada segunda.
  • Uso de la prueba de la derivada segunda para saber si un punto dado es un máximo o un mínimo.
  • Integrales definidas e indefinidas de xn, donde n ∈ ℚ, incluidos n = – 1, sen x, cos x, 1 / cos2x y ex.
  • Integración por comparación o por sustitución de la forma ∫ f(g(x))g′(x)dx.
  • Área de la región que está delimitada por una curva y por el eje x o el eje y dentro de un intervalo dado.
  • Volúmenes de revolución alrededor del eje x o del eje y.
  • Problemas de cinemática donde interviene el desplazamiento s, la velocidad v y la aceleración a.
  • Plantear un modelo o una ecuación diferencial partiendo de un contexto.
  • Resolución mediante separación de variables.
  • Campos de direcciones y sus correspondientes diagramas.
  • Método de Euler para hallar la solución aproximada de ecuaciones diferenciales de primer orden.
  • Resolución numérica de dy / dx = f(x, y).
  • Resolución numérica del sistema acoplado dx / dt = f1 (x, y, t) y dy / dt = f2 (x, y, t).
  • Los retratos de fase como método para resolver ecuaciones diferenciales acopladas de la forma: dx / dt = ax + by y dy / dt = cx + dy.
  • Análisis cualitativo de trayectorias futuras para valores propios distintos, reales, complejos e imaginarios.
  • Bosquejo (dibujo aproximado) de trayectorias y uso de los retratos de fase para identificar las características principales, tales como los puntos de equilibro, las poblaciones estables y los puntos de silla.
  • Soluciones de d2x / dt2 = f(x, dx / dt, t) mediante el método de Euler.

Matemáticas: Análisis y Enfoques NS

  • Comprensión informal de la continuidad y la derivabilidad de una función en un punto.
  • Entender el concepto de límite (convergencia y divergencia).
  • Definición formal de la derivada f′(x) = lim h → 0 f(x + h) − f(x) / h.
  • Derivadas de orden superior.
  • La evaluación de límites que son de la forma lim xa f(x) / g(x) y lim x → ∞ f(x) / g(x) utilizando la regla de L’Hôpital o la serie de Maclaurin.
  • Uso reiterado de la regla de L’Hôpital.
  • Derivación implícita.
  • Razones de cambio relacionadas.
  • Problemas de optimización.
  • Derivadas de tanx, secx, cosecx, cotx, ax, logax, arcsenx, arccosx, arctanx.
  • Integral indefinida de la derivada de alguna de las funciones anteriores.
  • La composición de alguna de estas funciones con una función lineal.
  • Uso de fracciones parciales para reorganizar el integrando.
  • Integración por sustitución.
  • Integración por partes.
  • Integración por partes reiterada.
  • Área de la región que está delimitada por una curva y por el eje y en un intervalo dado.
  • Volúmenes de revolución alrededor del eje x o del eje y.
  • Ecuaciones diferenciales de primer orden.
  • Resolución numérica de dy / dx = f(x, y) empleando el método de Euler.
  • Variables separables.
  • Ecuación diferencial homogénea dy / dx = f(y / x) utilizando la sustitución y = vx.
  • Resolución de y′ + P(x)y = Q(x) utilizando el factor integrante.
  • Serie de Maclaurin para obtener el desarrollo de ex, senx, cosx, ln(1 + x), (1 + x)p, p ∈ ℚ.
  • Obtención de nuevas series mediante sustitución simple, multiplicación, integración y derivación.
  • Series de Maclaurin partiendo de una ecuación diferencial.